摘要：雙螺桿擠出機機筒內(nèi)部的流體流動區(qū)域截面是隨時間變化的復(fù)雜三連通區(qū)域，采取共形映射方法將這樣的三連通區(qū)域映射成不隨時間變化的圓界區(qū)域，進一步將流動區(qū)域變成一個不隨時間變化的柱形區(qū)域，可大幅簡化雙螺桿擠出機流體流動問題的計算。選擇以外邊界為圓周、內(nèi)邊界為隨時間旋轉(zhuǎn)的兩個橢圓周的平面區(qū)域上的熱傳導(dǎo)問題為研究對象，用本文方法進行計算并比較了精確解和數(shù)值解，計算結(jié)果表明兩解的絕對誤差較小。本文方法可用于雙螺桿擠出機流體流動問題的計算，并簡化了計算過程。
引言
雙螺桿擠出機輸送效率高而且穩(wěn)定，對于物料的處理更均勻，是塑料等高聚物生產(chǎn)的重要設(shè)備，因此雙螺桿擠出機內(nèi)部聚合物流體的流動性態(tài)和數(shù)值模擬是一個熱門的研究課題。
雙螺桿擠出機內(nèi)部的流體流動滿足的數(shù)學(xué)模型是三維的非牛頓流體動力學(xué)方程組，區(qū)域復(fù)雜且隨時間變化，因此是求解難點，通常直接采用有限元［1－3］等方法或?qū)?shù)學(xué)模型降維的方法來進行流體流動的數(shù)值求解，但缺點是難以精確有效。在此流體區(qū)域上求解雙螺桿擠出機擠出問題的另一個重要途徑是先將求解區(qū)域規(guī)則化，并在這個規(guī)則區(qū)域上進行流體計算。通常來說雙螺桿擠出機流體流動區(qū)域的截面是一個三連通區(qū)域，有3個邊界：外邊界是一個類似于8字形的外邊界，2個內(nèi)邊界是兩根螺桿的截面邊界。因此用合適的區(qū)域變換方法將螺槽區(qū)域變成規(guī)則化的區(qū)域，將大大簡化對雙螺桿擠出機流體的計算。
將一個截面在一個轉(zhuǎn)動周期中不同時刻的區(qū)域形狀經(jīng)過規(guī)則化變換變?yōu)橄嗤膱A界區(qū)域，再將雙螺桿擠出機流體流動區(qū)域的截面轉(zhuǎn)化成圓界區(qū)域后，求解區(qū)域非但不受時間影響，還變成了規(guī)則的、截面為三連通圓界（形狀）區(qū)域的柱體，從而克服了求解雙螺桿擠出機流體流動問題的主要困難。文獻［4－6］研究了用區(qū)域變換方法求解單螺桿擠出機的流體流動問題，但其采用的方法只適用于雙連通區(qū)域同心的情況，因此需要尋找更合適的共形映射方法來解決三連通區(qū)域的變換問題。
多連通區(qū)域的共形映射的計算方法有多種［7－9］，通常是將區(qū)域映射到圓縫［7－8］。本文采用文獻［9］的方法將三連通區(qū)域映射到圓界區(qū)域，同時對其算法的約束條件進行修改，以保證同一桿長位置不同轉(zhuǎn)角的截面均映射到同樣的圓界區(qū)域，并更正了其中共軛調(diào)和函數(shù)求解方程式的錯誤。為了驗證共形映射算法的可行性，本文以內(nèi)部邊界曲線是兩個橢圓的雙螺桿擠出機流體流動區(qū)域為例求解該時變區(qū)域上的熱傳導(dǎo)方程的定解，并將數(shù)值解與精確解進行比較。計算結(jié)果表明，兩解的絕對誤差較小，可以用于求解雙螺桿擠出機內(nèi)部流體流動問題。
1共形映射的計算
1.1 共形映射方法的理論公式
本文使用并改進文獻［9］的方法。首先考慮一個多邊相連的有界平面區(qū)域Ωa，其邊界分量是光滑的曲線。Ωa共形等價于圓界區(qū)域Ωc。設(shè)f：Ωa→Ωc為共形映射，同時令函數(shù)u=ln|f'（z）|，則u是Ωa上的調(diào)和函數(shù)，并且滿足邊界條件（1）
式中，n是邊界分量，rv是對應(yīng)的圓界邊界Ωc的半徑，s是弧長參數(shù)，X（s）是Ωa的曲率，其值取決于s位于哪個邊界上。
在區(qū)域邊界有尖角的情況下，將區(qū)域記為Ωp。式（1）中X（s）在每個尖角的值是δ函數(shù)的倍數(shù)，即X（s）=βδ（s），其中β是尖角的補角。所以共形映射f（z）可以近似表示為
f（z）=f1（（z－z0）α）
式中z0是尖角點的坐標(biāo)，f1是一個單值解析函數(shù)，α=π/（π－β）。因此可以得到
ln|f'（z）|=（α－1）ln|z－z0|+w
式（2）中w為調(diào)和函數(shù)的光滑部分。式（2）表明調(diào)和函數(shù)u在尖角部分有對數(shù)奇點，如果減去u中所有奇異部分，剩余部分即為在邊界上光滑的調(diào)和函數(shù)。利用公式（3）可以得到與尖角部分有相同奇點的單值函數(shù)
式（3）中，z*是Ωp區(qū)域外部線段z0z*上除z0外的一點，從調(diào)和函數(shù)u中去除所有奇點{zi}后得到一個剩余的函數(shù)w即為Ωp上的調(diào)和函數(shù)，并且w在邊界上光滑，從而得到式（4）
u = g（ z） + w
式（4）中
且w滿足邊界條件
求解如式（5）的泛函φ（w）的最小值可以得到調(diào)和函數(shù)w。
式中，Cv表示Ωa的內(nèi)部邊界，且
得到調(diào)和函數(shù)w后，求解Cauchy-Ｒiemann方程
，即可得到w的共軛調(diào)和函數(shù)wc。
注意到G（z）是解析函數(shù)，則ln|G（z）|是從式（4）u中減去的奇異部分之和，因此f'（z）=exp（w+iwc）G（z）是解析函數(shù)，通過對f'（z）積分可以得到共形映射f（z）。
為了使調(diào)和函數(shù)w唯一，需要在外邊界上選取兩個點pi（i=1，2（3）），從而得到限制條件式（7）
式（7）中ai為2個固定正數(shù)，令其滿足a1+a2=2π，則式（7）可使映射f唯一，同時不影響目標(biāo)網(wǎng)格的形狀，更重要的是可以使內(nèi)部邊界的形狀和大小變得相同。
1.2數(shù)值求解
通過有限元方法對公式（5）進行離散來尋找函數(shù)φ（w）的最小值。在Ωa區(qū)域打上網(wǎng)格點進行三角劃分，并在每個尖角點部分進行加細(xì)處理。分別用V、E、F來表示節(jié)點、邊和三角形的集合，并將未知函數(shù)w離散化為τ上的分段線性函數(shù)。
首先，將式（5）中的第一項離散為
式中H表示三角網(wǎng)格的個數(shù)。將w的離散值排成列向量w'，有
式中we是邊界向量，wi是內(nèi)部向量。所以式（8）等式右邊可以寫成矩陣表達式
，其中系數(shù)矩陣A為對稱矩陣，可寫成
式中Aee、Aii分別對應(yīng)we和wi，Aei對應(yīng)交叉部分。
其次，將式（5）中的第二項離散為
式中e為三角網(wǎng)格的邊。式（9）中g(shù)，X（s）可以分別離散為
式（10）中，@S（e）表示在S（e）點的值。值得注意的是，
帶有方向性，因此式（9）可以寫成向量表達形式:λTwe，其中λ為系數(shù)向量。最后，將式（5）中第三項離散為
式（11）中
式（12）中
式（13）中，l（e1）、l（e2）分別表示p點兩端的邊界邊的長度。
限制條件式（7）可以離散為如下形式
式中C'i是外邊界pi與pi+1之間的節(jié)點集合，且p3=p1。
綜合公式（8）～（10）的離散過程，可得式（5）的離散形式
固定we，則當(dāng)wi=－Aii-1Aiewe時，φ（w'）有最小值。因此式（15）的最小值問題等價于式（16）取最小值
式中A'=Aee－AieTAii-1Aie。
求得式（16）在約束條件式（14）下的最小值we，進而可得到式（15）的最小值w'。
通過求解公式（17）的最小值可以得到w的共軛調(diào)和函數(shù)
因為f'（z）=exp（w+iwc）G（z）已知，所以通過求解式（18）可以得到
式（18）的離散過程如下。
首先，對于三角網(wǎng)格中頂點坐標(biāo)為z1，z2，z3的三角形，令f'=（f'（z1）+f'（z2）+f'（z3））/3，從而得到期望三角形的3個頂點的坐標(biāo)
將坐標(biāo)分為實部和虛部（xei，yei）（i=1，2（3））。
其次，該期望三角形對于式（18）離散后的實部和虛部的影響分別為
最后，采用最小二乘法對式（20）、（21）分別求最小值，得到最小值點{xi}、{yi}，即得f（zk）=xk+iyk。
因為在式（17）的計算中，wc的值相差一個實常數(shù)，所以f（z）的值可以相差一個復(fù)常數(shù)。這說明求出映射后還可以作平移和旋轉(zhuǎn)變換來保持共形性質(zhì)。圖1即為數(shù)值計算結(jié)果的圖示，可看出對不同的轉(zhuǎn)角，映射后的圓界區(qū)域有較高的重合度。
圖1流動截面區(qū)域到圓界區(qū)域的共形映射
2實例驗證
2.1熱傳導(dǎo)方程的變換
選擇一個熱傳導(dǎo)方程來驗證共形映射算法的可行性。設(shè)熱傳導(dǎo)方程的求解區(qū)域是類似于圖1中的雙螺桿擠出機截面的三連通區(qū)域，其中外邊界不隨時間變化，兩個內(nèi)邊界繞各自中心旋轉(zhuǎn)。熱傳導(dǎo)方程如下
利用共形映射將求解區(qū)域Dt變?yōu)閳A界區(qū)域，將自變量（x，y）變?yōu)椋?xi;，η），即得
假設(shè)此變換將Dt變?yōu)椴浑S時間變化的區(qū)域Ω，
邊界L0、L1（t）、L2（t）分別變?yōu)?/span>
式（24）中，螺桿轉(zhuǎn)角θ＞0，（ξ，η）∈Ω。式（24）可以通過有限元方法計算求解，共形映射和其逆映射的值以及相關(guān)導(dǎo)數(shù)值可以通過插值和變換之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系給出。
2.2數(shù)值計算結(jié)果
選取Dt的外邊界為圓心在原點、半徑等于r的圓周，其內(nèi)邊界L1（t）、L2（t）分別是橢圓，橢圓方程為
取r=2，a=0.6，b=0.8，c=0.8，ω=1，則定解問題式（22）變?yōu)?/span>
式（25）中，螺桿轉(zhuǎn)動時間t＞0，（x，y）∈Dt。
給定精確解u=e－2tsin xcos y+x2。取邊界上初始網(wǎng)格長度0.08且均勻分布的三角網(wǎng)格，區(qū)域上約有1700個網(wǎng)格點，在此網(wǎng)格上計算共形映射。數(shù)值解的求解過程為:首先對t從0～π/2進行離散，再對每個離散的t計算共形映射，然后利用對稱性拓展得到π/2～π對應(yīng)的離散t的共形映射，最后進行周期延拓，就可以得到所需的共形映射。將時間步長取為π/40，然后在映射網(wǎng)格上用有限元法求解式（25），得到t=2π時的數(shù)值解與精確解的絕對誤差如圖2所示。
圖2t=2π時數(shù)值解與精確解的絕對誤差
通過比較數(shù)值解和精確解可知，其絕對誤差在0.01范圍內(nèi)，表明本文算法是可行的。
3 結(jié)論
（1）用共形映射將雙螺桿擠出機流體流動區(qū)域的截面變?yōu)閳A界區(qū)域，可使求解區(qū)域不受轉(zhuǎn)動的影響，將雙螺桿擠出機流體流動區(qū)域進一步變換成截面為圓界區(qū)域的柱體區(qū)域，可以為雙螺桿擠出機這種復(fù)雜流體運動的求解提供一種精確高效的方法。
（2）利用本文方法對求解區(qū)域類似于雙螺桿擠出機截面的三連通區(qū)域的熱傳導(dǎo)問題進行數(shù)值實驗，得到的數(shù)值解與精確解誤差較小，從而證明了本文方法的可行性和有效性。
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